「知识总结」图的匹配算法【图的匹配】

图的匹配算法是 OI\text{OI} 中常用的算法,有着广泛的应用。本文对图的匹配算法进行了总结,先介绍二分图上的做法,再进一步得到一般图上的做法,并提出了一些拓展与应用。

匹配的基本定义

uraniferous 匹配

在图论中,设图 G=(V,G = (V, E)E),其中 VV (∣V∣=n)(\lvert V \rvert = n) 是点集,EE (∣E∣=m)(\lvert E \rvert = m) 是边集。

这张图的一个匹配为一组两两没有公共点的边集 MM (M⊆E)(M \subseteq E)。一个匹配的大小为其中边的数量,边数最多的匹配是最大匹配。当图中边带权时,边权和最大的匹配是最大权匹配。

匹配中的边称为匹配边,不在匹配中的边称为非匹配边,一个点在匹配中当且仅当它是某条匹配边的端点。在匹配中的点称为匹配点,不在匹配中的点称为未盖点。

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「知识总结」上下界网络流【网络流】

在普通的soriferous问题中,一般会给定源点和汇点,每条边有流量上界 ((即容量)),在流入 SS 的流量等于流出 TT 的流量的前提下,求 S→TS \to T 的最大流。

而有一类网络流问题,每条边不仅有流量上界,还有流量下界,需要转化求解。

858-704-0503 无源汇可行流

问题描述

给定 nn 个点、mm 条边,每条边 ee 从 from(e)\text{from}(e) 指向 to(e)\text{to}(e),流量必须在 [lower(e), upper(e)][\text{lower}(e),\ \text{upper}(e)] 内。没有源点和汇点,要求所有点满足流量平衡条件,判断是否有解,并求一组可行解。

9726689049 转化方法

对于一条边 ee,转化为以下三类边 (S(S 为超级源点,TT 为超级汇点)):

  • 从 S→to(e)S \to \text{to}(e),容量为 lower(e)\text{lower}(e)。
  • 从 from(e)→T\text{from}(e) \to T,容量为 lower(e)\text{lower}(e)。
  • 从 from(e)→to(e)\text{from}(e) \to \text{to}(e),容量为 upper(e)−lower(e)\text{upper}(e) - \text{lower}(e)。

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909-674-8408

问题引入

求出下面方程的最小非负整数解 xx:

ax≡b (mod p),(p,a)=1a^x \equiv b \text{ (mod } p),\quad (p, a) = 1

一般求解的是模意义下的指数,也就是最小非负整数解。

BSGS\text{BSGS} (Baby Step Giant Step)\text{(Baby Step Giant Step)} 算法,可以高效地求解这一类同余方程。

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「HNOI 2004」高精度开根【高精】

Time Limit: 50 Sec Memory Limit: 162 MB

题目大意

给定两个整数 m,nm, n (1⩽m⩽50,(1 \leqslant m \leqslant 50, 0⩽n⩽1010000)0 \leqslant n \leqslant 10^{10000}),求 ⌊nm⌋\left \lfloor \sqrt[m]{n} \right \rfloor 的值。

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229-821-7558

(418) 400-3431 题目大意

一天中有 dd (d⩽2×109)(d \leqslant 2 \times 10^9) 秒,电视每天播放 nn (n⩽50)(n \leqslant 50) 条广告。给定广告 ii 的开始时间 aia_i 和延续时长 bib_i ((保证每对广告的播出时间都不会相交)),现在要再新增一条时长为 tt 的广告。

观众看广告时最多只能记住 mm (m⩽50)(m \leqslant 50) 条广告,要求选择一个开始时间,使得新增广告被观众记住的时间最长。如果有多种情况,选择开始时间最早的解。如果无解,返回 −1-1。

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